Ciągi na maturze z matematyki: arytmetyczny, geometryczny i wzór ogólny
Dział, w którym prawie wszystko sprowadza się do jednego rozstrzygnięcia: czy różnica jest stała, czy iloraz.
994
zadania w tym dziale
Zakres to ciągi liczbowe zadane wzorem ogólnym i rekurencyjnym, ciąg arytmetyczny z jego różnicą, ciąg geometryczny z ilorazem, wzory na wyraz dowolny i na sumę początkowych wyrazów oraz warunki, przy których trzy liczby tworzą jeden z tych ciągów.
Rozpoznanie rodzaju ciągu jest pierwszym punktem rubryki i bywa pomijane. Różnica sąsiednich wyrazów stała oznacza ciąg arytmetyczny, stały iloraz — geometryczny. Sprawdzenie tego na jednej parze wyrazów nie wystarcza jako uzasadnienie, bo jedna para nie mówi nic o pozostałych.
Przy sumach liczy się, które wyrazy sumujemy. Wzór dotyczy sumy od pierwszego wyrazu, więc suma od innego miejsca wymaga odjęcia sumy początkowej albo przenumerowania. Pominięcie tego kroku daje wynik poprawny dla innego zadania niż postawione.
Zadania maturalne z matematyki: ciągi — co sprawdzamy w Twoim rozwiązaniu
Czy rodzaj ciągu został rozstrzygnięty i uzasadniony, a nie założony.
Czy wzór na wyraz i wzór na sumę zostały zapisane przed podstawieniem.
Czy numeracja wyrazów zgadza się z treścią zadania — zwłaszcza przy sumach zaczynających się dalej niż od pierwszego.
Czy odpowiedź wraca do wielkości, o którą pytano, a nie kończy się na parametrze ciągu.
Czego tu nie ma: treści zadań z arkuszy CKE, rozwiązań wzorcowych ani kluczy odpowiedzi. Ta strona opisuje własnymi słowami, czego dotyczy materiał i co sprawdzamy w Twoim rozwiązaniu. Zadania z arkuszy rozwiązuje się w aplikacji, po zalogowaniu.
Najczęstsze pytania
Jak rozpoznać, czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny?
Policz różnicę dwóch kolejnych wyrazów dla dowolnego numeru, korzystając ze wzoru ogólnego. Jeśli nie zależy od numeru, ciąg jest arytmetyczny. Jeśli stały jest iloraz kolejnych wyrazów, ciąg jest geometryczny. Sprawdzenie na kilku pierwszych wyrazach to obserwacja, a nie uzasadnienie. Przy trzech kolejnych wyrazach pomaga własność z karty wzorów: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich, a w geometrycznym jego kwadrat równa się iloczynowi sąsiednich.
Kiedy użyć wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu?
Gdy polecenie pyta o sumę kolejnych wyrazów zaczynającą się od pierwszego. Wzór z karty wymaga liczby sumowanych wyrazów, więc ustal ją przed podstawieniem, bo to częste miejsce pomyłki. Suma, która zaczyna się dalej niż od pierwszego wyrazu, to różnica dwóch sum początkowych albo suma ciągu z przenumerowanymi wyrazami. Nie myl też sumy początkowych wyrazów z wyrazem o tym samym numerze.
Za co przepadają punkty w zadaniach z ciągów?
Za pomylenie rodzaju ciągu: to błąd metody, a nie rachunku, więc dalsze obliczenia nie ratują rozwiązania. Za przesunięty numer we wzorze na wyraz ogólny, gdy różnicę albo iloraz bierze się tyle razy, ile wynosi numer wyrazu, zamiast o jeden raz mniej. Za źle ustaloną liczbę sumowanych wyrazów. I za odpowiedź, która kończy się na różnicy albo ilorazie, zamiast wrócić do wielkości, o którą pytano.